ステップ応答 - 電験2種 平成3年 機械・制御

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伝達関数が

\[\frac{s^2+16s+36}{s^2+7s+12}\]

である系に、入力信号として、

\[g(t)=\begin{cases} 4 & t≧0 \\ 0 & t＜0 \end{cases}\]

を与えた場合の応答(出力信号)を求めよ。

【解答と解説】

ステップ入力

\[L[g(t)]=\frac{4}{s}\]

伝達関数

\[G(s)=\frac{s^2+16s+36}{s^2+7s+12}\]

一次遅れ、ベクトル軌跡 - 電験2種 1994年(平成6年)

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図のような一次遅れの回路の周波数伝達関数

\[G(jω)=\frac{E_o(jω)}{E_i(jω)}\]

を求め、G(jω)のベクトル軌跡が円になることを示せ。 また、円の中心の位置と半径の値を求めよ。 なお、ωを0から∞まで変化したときのG(jω)の軌跡の範囲を図で示せ。

【解答と解説】

\[G(jω)=\frac{E_o(jω)}{E_i(jω)} =\frac{\frac{1}{jωC}}{R+\frac{1}{jωC}} =\frac{1}{1+jωCR} =\frac{1}{1+(ωCR)^2}-j\frac{ωCR}{1+(ωCR)^2}\] \[(Re G(jω))^2+(Im G(jω))^2 =(\frac{1}{1+(ωCR)^2})^2+(-\frac{ωCR}{1+(ωCR)^2})^2 =\frac{1+(ωCR)^2}{(1+(ωCR)^2)^2} =\frac{1}{1+(ωCR)^2}\] \[ =Re G(jω)\] \[(Re G(jω)-\frac{1}{2})^2+(Im G(jω))^2=(\frac{1}{2})^2\]

安定性判別 - 電験2種 1985年(昭和60年)

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図に示す制御系において、G(s)およびH(s)が(1)および(2)のように与えられている二つの場合について、 それぞれの系が安定であるか否かを判別せよ。

\[(1)　G(s)=\frac{1}{s(s-2)}、H(s)=\frac{s-2}{s+2}\] \[(2)　G(s)=\frac{s-1}{s^2(s+2)}、H(s)=\frac{2s+1}{1-s}\]

【解答と解説】

(1)

\[閉路伝達関数　W(s) =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{1}{\frac{1}{G(s)}+H(s)} =\frac{1}{s(s-2)+\frac{s-2}{s+2}}\] \[　　=\frac{s+2}{s(s-2)(s+2)+(s-2)} =\frac{s+2}{(s-2)(s+1)^2}\] \[特性方程式=(s-2)(s+1)^2=s^3-3s-2\] \[H=\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & a_5\\ a_0 & a_2 & a_4\\ 0 & a_1 & a_3\end{array} =\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & 0\\ a_0 & a_2 & 0\\ 0 & a_1 & a_3\end{array} =\begin{array}{|ccc|} 0 & -2 & 0\\ 3 & -3 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{array}\] \[⊿_1=a_1=0\] \[⊿_2=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} 0 & -2 \\ 3 & -3 \end{array} =6>0\]

フルビッツの安定判別

\[a_0s^3+a_1s^2+a_2s+a_3=0\] \[a_0>0、a_1＞0、a_2＞0、a_3＞0…すべての係数a_0、a_1、a_2、a_3が存在して、同符号\] \[⊿_1=a_1>0、⊿_2=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array}>0…フルビッツの行列式のすべての値⊿_1、⊿_2が正\]

上記より不安定。

(2)

\[閉路伝達関数　W(s) =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{1}{\frac{1}{G(s)}+H(s)} =\frac{1}{\frac{s^2(s+2)}{s-1}+\frac{2s+1}{1-s}}\] \[　　=\frac{s-1}{s^2(s+2)-(2s+1)} =\frac{s-1}{s^3+2s^2-2s-1} =\frac{s-1}{(s-1)(s^2+3s+1)} =\frac{1}{s^2+3s+1}\] \[特性方程式=s^2+3s+1\] \[H=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} a_1 & 0 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\] \[⊿_1=a_1=3>0\]

フルビッツの安定判別

\[a_0s^2+a_1s+a_2=0\] \[a_0>0、a_1＞0、a_2＞0…すべての係数a_0、a_1、a_2が存在して、同符号\] \[⊿_1=a_1>0…フルビッツの行列式の値⊿_1が正\]

上記より安定。

同期電動機、最大トルク - 電験2種 1987年(昭和62年)

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定格周波数60Hz、定格電圧3300V、定格出力2000kW、定格力率1.0、極数30の三相同期機があり、 その短絡比は1.2である。この同期機を電動機として使用し、 これに60Hz、3300Vの電源から電力を供給し、定格負荷において力率1.0となるように励磁したとき、 電動機の出すことができる最大トルクはいくらか。 ただし、電動機は非突極機とし、その損失は無視するものとする。

【解答と解説】

同期電動機の定格電機子電流I

\[I=\frac{\frac{1}{3}(3\frac{V}{\sqrt{3}}I)}{\frac{V}{\sqrt{3}}} =\frac{\frac{1}{3}\frac{2000kW}{1.0}}{\frac{3300}{\sqrt{3}}} =0.3499kA\]

同期電動機の毎相の同期リアクタンスxs

\[x_s=％X・X =\frac{1}{短絡比}・\frac{定格電圧(相電圧)}{定格電機子電流I} =\frac{1}{1.2}\frac{\frac{3.3kV}{\sqrt{3}}}{0.3499kA} =4.538Ω\]

無負荷誘導起電力Eはra≒0、力率1.0より、

\[\frac{E}{\sqrt{3}}=\sqrt{(\frac{V}{\sqrt{3}})^2+2\frac{V}{\sqrt{3}}I(r_a cosθ +x_s sinθ)+Z_s^2I^2} =\sqrt{(\frac{V}{\sqrt{3}})^2+(Ix_s)^2} =2480V\]

同期電動機の出力Pm、最大出力Pmax

\[P_m=3\frac{\frac{E}{\sqrt{3}}\frac{V}{\sqrt{3}}}{x_s}sinδ=3124kW・sinδ\] \[P_{max}=3\frac{\frac{E}{\sqrt{3}}\frac{V}{\sqrt{3}}}{x_s}=3124kW\]

同期電動機の同期速度Ns、回転子同期角速度ωs

\[N_s=\frac{120f}{p}(min^{-1})\] \[ω_s=2π\frac{N_s}{60}=\frac{2πf}{\frac{p}{2}}=\frac{2・2π・60Hz}{極数30}\]

同期電動機の最大トルクTmax

\[T_{max}=\frac{P_{max}}{ω_s}=124300Nm\]

単相3巻変圧器 - 電験2種2次 1996年(平成8年) 機械・制御

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一次巻線容量100kVA、一次定格電圧10kV、 二次巻線容量および三次巻線容量50kVA、二次定格電圧および三次定格電圧100Vの単相3巻変圧器がある。 各2巻線間の百分率インピーダンス電圧は、100kVA基準で、 一次と二次間10％、一次と三次間10％、二次と三次間5％であった。次の問に答えよ。

(1)励磁アドミタンスと抵抗分を無視して、3巻線変圧器の等価回路を図のように表したとき、 各ブランチの百分率インピーダンス電圧％IX1、％IX2、％IX3は、100kVA基準でそれぞれ何％になるか。

(2)一次端子電圧を定格電圧10kVに保ち、三次端子を開放したまま 二次端子を短絡したとき、三次端子電圧はいくらになるか。

(3)上記(2)で、二次端子を短絡しても三次端子電圧が90V以下に降下しないためには、 二次と三次間の百分率インピーダンスを何％以上にすればよいか。 ただし、一次と二次間および一次と三次間の百分率インピーダンス電圧は10％のままとする。

【解答と解説】

(1)

各ブランチの百分率インピーダンス電圧(100kVA)は、

\[％IX_{1-2,100kVA}=10％\] \[％IX_{2-3,100kVA}=5％\] \[％IX_{3-1,100kVA}=10％\] \[％IX_{1,100kVA}=\frac{X_{1-2}-X_{2-3}+X_{3-1}}{2}=\frac{10％-5％+10％}{2}=7.5％\] \[％IX_{2,100kVA}=\frac{X_{1-2}+X_{2-3}-X_{3-1}}{2}=\frac{10％+5％-10％}{2}=2.5％\] \[％IX_{3,100kVA}=\frac{-X_{1-2}+X_{2-3}+X_{3-1}}{2}=\frac{-10％+5％+10％}{2}=2.5％\]

(2)

\[V_3=100V・\frac{％IX_{2,100kVA}}{％IX_{1,100kVA}+％IX_{2,100kVA}}=100V・\frac{2.5％}{7.5％+2.5％}=25V\]

(3)

\[％IX'_{1,100kVA}+％IX'_{2,100kVA}=10％…①\] \[％IX'_{1,100kVA}+％IX'_{3,100kVA}=10％…②\] \[100V・\frac{％IX_{2,100kVA}}{％IX_{1,100kVA}+％IX_{2,100kVA}}＞90V…③\]

③より、

\[\frac{％IX_{2,100kVA}}{％IX_{1,100kVA}+％IX_{2,100kVA}}＞0.9\] \[\frac{％IX_{2,100kVA}}{10％}＞0.9\] \[％IX_{2,100kVA}＞9％\]

上記と①より、

\[％IX_{1,100kVA}＜1％\]

上記と②より、

\[％IX_{3,100kVA}＞9％\] \[％IX_{2-3,100kVA}=％IX_{2,100kVA}+％IX_{3,100kVA}＞18％\]

INDEX - 電験2種2次 - 機械・制御

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同期電動機

同期電動機、最大トルク (1987年電験2種)

\[定格電機子電流I=\frac{\frac{1}{3}(3\frac{V}{\sqrt{3}}I)}{\frac{V}{\sqrt{3}}}\] \[同期リアクタンスx_s=％X・X =\frac{1}{短絡比}・\frac{定格電圧(相電圧)}{定格電機子電流I}\] \[無負荷誘導起電力\frac{E}{\sqrt{3}}=\sqrt{(\frac{V}{\sqrt{3}})^2+2\frac{V}{\sqrt{3}}I(r_a cosθ +x_s sinθ)+Z_s^2I^2}\] \[出力P_m=3\frac{\frac{E}{\sqrt{3}}\frac{V}{\sqrt{3}}}{x_s}sinδ\]

変圧器における電圧降下

変圧器 - 効率、電圧変動率 (2004年電験2種2次 機械・制御)

変圧器 - ％Z降下、電圧変動率 (1995年電験2種2次 機械・制御)

\[電圧変動率ε≒\frac{定格電流×変圧器の抵抗r}{定格電圧}cosθ+\frac{定格電流×変圧器のリアクタンスx}{定格電圧}sinθ\] \[=％p・cosθ+％q・sinθ\] \[変圧器の効率η=\frac{出力}{出力+鉄損+銅損}=\frac{α3\frac{V}{\sqrt{3}}Icosθ}{α3\frac{V}{\sqrt{3}}Icosθ+P_i+α^2P_c}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}Icosθ}{3\frac{V}{\sqrt{3}}Icosθ+\frac{P_i}{α}+αP_c}\]

変圧器の並行運転

変圧器の並行運転 (2009年電験2種2次 機械・制御)

単相3巻変圧器

単相3巻変圧器 (1996年電験2種2次 機械・制御)

伝達関数のベクトル軌跡

一次遅れ、ベクトル軌跡 (1994年電験2種2次 機械・制御)

過渡応答

過渡応答 (2001年電験2種2次 機械・制御)

安定性判別

安定性判別 (1995年電験2種2次 機械・制御)

安定性判別 (1985年電験2種)

フルビッツの安定判別

\[a_0s^3+a_1s^2+a_2s+a_3=0\] \[H=\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & a_5\\ a_0 & a_2 & a_4\\ 0 & a_1 & a_3\end{array} =\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & 0\\ a_0 & a_2 & 0\\ 0 & a_1 & a_3\end{array}\] \[a_3>0、a_2＞0、a_1＞0、a_0＞0…すべての係数a_3、a_2、a_1、a_0が存在して、同符号\] \[⊿_1=a_1>0、⊿_3=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array}>0…フルビッツの行列式のすべての値⊿_1、⊿_3が正\]

短絡容量 - 電験2種2次 1998年(平成10年) 電力・管理③

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図のような、33kV配電線の引出口の遮断機設置点から電源側を見た短絡容量[MVA]を求めよ。

ただし、変圧器の容量および％リアクタンス値は、下表に示すとおりであり、 抵抗分は無視するものとする。また、154kV系統側を見た短絡容量は10000MVA、 77kV系統側を見た短絡容量は3000MVAである。なお、計算では基準容量を100MVAとせよ。

短絡容量Psとは、電力系統における三相短絡故障時に故障点に流入する仮想的は電力で、

\[P_S=\sqrt{3}×V(定格線間電圧)×I(短絡電流)\]

である。

\begin{array}{c|c|c} \hline &容量MVA&％リアクタンス\\ \hline 一～二次間&100&12.0\\ \hline 二～三次間&30&4.0\\ \hline 三～一次間&30&10.0\\ \hline \end{array}

【解答と解説】

154kV系統、77kV系統の各単位法リアクタンス(100MVA)は、

\[X_{154kV,100MVA}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S}=\frac{100MVA}{10000MVA}=\frac{0.3}{30}\] \[X_{77kV,100MVA}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S}=\frac{100MVA}{3000MVA}=\frac{1}{30}\]

変圧器の各単位法リアクタンス(100MVA)は、

\[X_{1-2,100MVA}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S}=0.12=\frac{3.6}{30}\] \[X_{2-3,100MVA}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S}=0.04\frac{100MVA}{30MVA}=\frac{4}{30}\] \[X_{3-1,100MVA}=\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S}=0.1\frac{100MVA}{30MVA}=\frac{10}{30}\] \[X_{1,100MVA}=\frac{X_{1-2}-X_{2-3}+X_{3-1}}{2}=\frac{\frac{3.6}{30}-\frac{4}{30}+\frac{10}{30}}{2}=\frac{4.8}{30}\] \[X_{2,100MVA}=\frac{X_{1-2}+X_{2-3}-X_{3-1}}{2}=\frac{\frac{3.6}{30}+\frac{4}{30}-\frac{10}{30}}{2}=-\frac{1.2}{30}\] \[X_{3,100MVA}=\frac{-X_{1-2}+X_{2-3}+X_{3-1}}{2}=\frac{-\frac{3.6}{30}+\frac{4}{30}+\frac{10}{30}}{2}=\frac{5.2}{30}\]

33kV配電線の引出口の遮断機設置点から電源側を見た単位法リアクタンス(100MVA)は、

\[X_{100MVA}=(X_{154kV,100MVA}+X_{1,100MVA})//(X_{77kV,100MVA}+X_{2,100MVA})+X_{3,100MVA}\] \[ =(\frac{0.3}{30}+\frac{4.8}{30})//(\frac{1}{30}-\frac{1.2}{30})+\frac{5.2}{30} =\frac{\frac{-1.02}{4.9}}{30}+\frac{5.2}{30}\]

33kV配電線の引出口の遮断機設置点から電源側を見た短絡容量は、

\[3\frac{V}{\sqrt{3}}I=100MVA\] \[3\frac{V}{\sqrt{3}}I_S=\frac{100MVA}{X_{100MVA}}=601MVA\]

1線地絡電流、高低圧混色、EVT、対称座標法 - 電験2種2次 2008年(平成20年) 電力・管理

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図1に示す6600V、50Hzの三相3線式配電線において、 配電線に接続された単相変圧器(6.6kV/110V)内部で高低圧混色事故が発生し、 1線がB種接地(抵抗値Rg)を通じて地絡を生じた場合について、次の問に答えよ。 ただし、配電線のこう長は10km、配電線1線当たりの対地静電容量は0.01μF/km、 接地形計器用変圧器(EVT)二次側の開放三角結線端子間の抵抗は25Ω、 EVTの変成比は6600V/110Vとし、逆相分およびその他の定数は無視するものとする。

(1)EVTは図2のような等価回路で表すことができる。 一次側換算時の等価中性点抵抗値Rn[Ω]を求めよ。

(2)単相変圧器内部で高低圧混色事故が発生した際の、高圧系統の等価回路を図示せよ。

(3)この等価回路を用いて、単相変圧器二次側に生じる対地電圧Vg[V]を 150V以内に抑えるために必要となるB種接地回路の最大許容値Rg[Ω]および その際のRgに流れる電流Ig[A]の大きさを求めよ。

ただし、計算に当たっては高低圧混色事故点にかかる電圧(地絡相の事故前の対地電圧)はVgに比べ、 十分大きいため、両電圧の位相差は無視しても計算結果には大きな差を与えないものとして計算してよい。

【解答と解説】

(1)一次側換算時の等価中性点抵抗値Rn

\[R_n=\frac{1}{3}(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3}=10000Ω\]

(3)

\[Z_0=\frac{1}{jωC}+(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3}、Z_1=Z_2=0\]

高低圧混色において、

\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & * & *\\ 1 & * & *\\ 1 & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_u→I_g\\ I_v→0\\ I_w→0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{V_u}{\sqrt{3}}→I_g・R_g\\ \frac{V_v}{\sqrt{3}}→*\\ \frac{V_w}{\sqrt{3}}→* \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] ( \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{V_u}{\sqrt{3}} \\ 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} Z_0 & & 0 \\ & Z_1 & \\ 0 & & Z_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{array} \right] ) = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0\frac{1}{3}I_g\\ \frac{V_u}{\sqrt{3}}-Z_1\frac{1}{3}I_g\\ -Z_2\frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[I_g・R_g=-\frac{1}{3}I_g(Z_0+Z_1+Z_2)+\frac{V_u}{\sqrt{3}}\] \[I_g=\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{R_g+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)} =\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{R_g+\frac{1}{3}(\frac{1}{jωC}+\frac{1}{3}(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3})}\] \[I_g・R_g + I_g・\frac{1}{3}(\frac{1}{jωC}+\frac{1}{3}(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3}) =\frac{V}{\sqrt{3}}\]

高低圧混色事故点にかかる電圧(地絡相の事故前の対地電圧)はVgに比べ、十分大きいため、両電圧の位相差は無視できるものとし、

\[|\frac{V}{\sqrt{3}}| - |I_g|・|\frac{1}{3}(\frac{1}{jωC}+\frac{1}{3}(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3})| = |I_g|・R_g =|V_g|＜ 150V\] \[|I_g|・|\frac{1}{3}(\frac{1}{jωC}+\frac{1}{3}(\frac{6600}{110})^2\frac{25}{3})| ＜|\frac{6600V}{\sqrt{3}}|-150V = 3660.5V\] \[|I_g|＜0.503A\] \[R_g=\frac{150V}{|I_g|}=\frac{150V}{0.503A}=298Ω\]

1線地絡電流、安定巻線、対称座標法 - 電験2種2次 2001年(平成13年) 電力・管理

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下図のようなY-Y結線で安定巻線(内蔵Δ)付の三脚内鉄型三相変圧器があり、 一次巻線、二次巻線、安定巻線の電圧はそれぞれ200kV、100kV、20kVである。 この変圧器二次側線路の点Fで1線地絡が生じた場合について、次の問に答えよ。

ただし、短絡インピーダンスは一次-二次間12％(基準容量100MVA)、 二次-安定巻線間8％基準容量50MVA、 安定巻線-一次間4％(基準容量50MVA)とし、 電源および線路のインピーダンスは無視するものとする。

(1)二次側u相に流れる電流I[A]の大きさを求めよ。

(2)(1)に関連して、1線地絡発生時の安定巻線の効用について述べよ。

【解答と解説】

(1)

1線地絡時、二次側u相に流れる電流Igは、

\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & * & *\\ 1 & * & *\\ 1 & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_u→I_g\\ I_v→0\\ I_w→0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{V_u}{\sqrt{3}}→I_g・0\\ \frac{V_v}{\sqrt{3}}→*\\ \frac{V_w}{\sqrt{3}}→* \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] ( \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{V_u}{\sqrt{3}} \\ 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} Z_0 & & 0 \\ & Z_1 & \\ 0 & & Z_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{array} \right] ) = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0\frac{1}{3}I_g\\ \frac{V_u}{\sqrt{3}}-Z_1\frac{1}{3}I_g\\ -Z_2\frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[I_g・0=-\frac{1}{3}I_g(Z_0+Z_1+Z_2)+\frac{V_u}{\sqrt{3}}\] \[I_g=\frac{\frac{V_u}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)}\]

正相、逆相のインピーダンスは等しく、安定巻線には流れないので、Z₁、Z₂は、一次、二次間インピーダンスZ₁₂となります。

\[Z_1=Z_2=Z_{12}=0.12_{(a.u.100MVA)} =\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{I_{S12}} =\frac{(\frac{V}{\sqrt{3}})^2}{\frac{1}{3}\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{0.12}} =\frac{(\frac{100kV}{\sqrt{3}})^2}{\frac{1}{3}\frac{100MVA}{0.12}} =12Ω(二次換算値)\]

一次巻線は、接地されていないので、零相電流は流れず、Zoは、二次、安定巻線間の短絡インピーダンスとなり、

\[Z_0=Z_{23}=0.16_{(a.u.100MVA)} =\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{I_{S23}} =\frac{(\frac{V}{\sqrt{3}})^2}{\frac{1}{3}\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I}{0.16}} =\frac{(\frac{100kV}{\sqrt{3}})^2}{\frac{1}{3}\frac{100MVA}{0.16}} =16Ω(二次換算値)\]

1線地絡時、二次側u相に流れる電流Igは、

\[I_g=\frac{\frac{V_u}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)} =\frac{\frac{V_u}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}(Z_{23}+Z_{12}+Z_{12})} =\frac{\frac{100kV}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}(16Ω+12Ω+12Ω)} =4330A\]

(2)

安定巻線がないと、零相電流が一次側に流れず、零相インピーダンスが極めて高くなり、健全相電圧が高くなります。 安定巻線があると、零相電流が安定巻線を通じて流れ、計算したように、零相インピーダンスが低くなり、健全相電圧を抑制できます。

1線地絡故障 - 電験2種2次 1986年(昭和61年) 電力・管理

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1線当たりの対地静電容量0.5μF、使用電圧66kV、周波数50Hzである中性点非接地方式の三相3線式1回線送電線路がある。 1線が抵抗1000Ωを通じて地絡を生じたときの地絡電流および中性点電位を求めよ。ただし、そのほかのインピーダンスは無視するものとする。

【解答と解説】

中性点非接地方式における三相3線式1回線送電線路の等価回路

等価に、

(1)地絡電流Ig

\[I_g=\frac{\frac{V}{\sqrt{3}}}{R_g+\frac{1}{3}・\frac{1}{jωC}} =\frac{\frac{66000V}{\sqrt{3}}}{1000Ω+\frac{1}{3}・\frac{1}{j・2π50Hz・0.5×10^{-6}}} =6.92+j14.7 [A]\] \[|I_g|=16.2[A]\]

(2)中性点電位Vn

\[Y_a=\frac{1}{R_a}+jωC\] \[Y_b=jωC\] \[Y_c=jωC\] \[I_a+I_b+I_c=(\frac{V_a}{\sqrt{3}}+V_N)Y_a+(\frac{V_b}{\sqrt{3}}+V_N)Y_b+(\frac{V_c}{\sqrt{3}}+V_N)Y_c=0\] \[V_N=-\frac{\frac{V_a}{\sqrt{3}}Y_a+\frac{V_b}{\sqrt{3}}Y_b+\frac{V_c}{\sqrt{3}}Y_c}{Y_a+Y_b+Y_c} =-\frac{\frac{V_a}{\sqrt{3}}(\frac{1}{R_g}+jωC)+α\frac{V_a}{\sqrt{3}}jωC+α^2\frac{V_a}{\sqrt{3}}jωC} {(\frac{1}{R_g}+jωC)+jωC+jωC}\] \[ =-\frac{\frac{V_a}{\sqrt{3}}}{R_g}\frac{1}{\frac{1}{R_g}+3\frac{1}{\frac{1}{jωC}}} =-31210+j14692\] \[|V_N|=34495[V]≒34.5[kV]\]

1線地絡故障、対称座標法 - 電験2種2次 2020年(令和2年) 電力・管理 問3

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対称座標法を用いた1線地絡故障の計算に関して、次の問に答えよ。

図のような送受電端の変圧器の中性点をそれぞれReの抵抗で接地した こう長20km、電圧66kV、周波数50Hzの三相3線式1回線送電線路がある。

そのa相1線がRの抵抗を通じて地絡を生じた場合の地絡電流を求めたい。

(1)地絡電流Igを、a相の無負荷電圧Ea、この送電回路の故障点から見た 零相インピーダンスZ0、正相インピーダンスZ1、逆相インピーダンスZ2、 及び、地絡点の抵抗Rfで表せ。

なお、故障点での各相電圧、各相電流を図に示すようにVa/√3、Vb/√3、Vc/√3、 Ia、Ib、Icとし、それを対称成分に変換したものをV0/√3、V1/√3、V2/√3、I0、I1、I2 としたとき、以下の関係となる。

\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{E_a}{\sqrt{3}} \\ 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} Z_0 & & 0 \\ & Z_1 & \\ 0 & & Z_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -Z_0I_0\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1I_1\\ -Z_2I_2 \end{array} \right] …対称三相交流(正相) \]

また、故障条件から以下の関係となる。

\[I_b=I_c=0\] \[\frac{V_a}{\sqrt{3}}=I_aR_f\]

(2)零相インピーダンスZ0、正相インピーダンスZ1、逆相インピーダンスZ2 をそれぞれ求めよ。ただし、1線当たりの対地静電容量Cは0.005μF/km、 変圧器の中性点の抵抗Reは2000/3Ωとして、その他のインピーダンス、 また負荷電流は無視するものとする。なお、π=3.1416とする。

(3)小問(2)の条件に加えて、地絡点の抵抗Rfが10Ωの場合における地絡電流 の大きさ|Ig|[A]を求めよ。

【解答と解説】

(1)

\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] 、 \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] \]

故障条件(1線地絡)より

\[ \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I_g\\ 0\\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{\frac{V_a}{\sqrt{3}}}{R_f}\\ 0\\ 0 \end{array} \right] …故障条件(1線地絡) \] \[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_g\\ 0\\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] 、 \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] \] \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0I_0\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1I_1\\ -Z_2I_2 \end{array} \right] \]

故障条件(1線地絡)より、

\[\frac{V_a}{\sqrt{3}}=I_aR_f=I_gR_f\] \[ \left[ \begin{array}{c} I_aR_f\\ *\\ * \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I_gR_f\\ *\\ * \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0\frac{1}{3}I_g\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1\frac{1}{3}I_g\\ -Z_2\frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[I_gR_f=-\frac{1}{3}I_g(Z_0+Z_1+Z_2)+\frac{E_a}{\sqrt{3}}\] \[I_g(R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2))=\frac{E_a}{\sqrt{3}}\] \[I_g=\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)}\]

(2)

\[Z_0=(3R_e+z_{出力})//\frac{1}{jωC}//(3R_e+z_{入力})|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0} =3R_e//\frac{1}{jωC}//3R_e\] \[ =(3・\frac{2000}{3})//\frac{1}{j・2π・50Hz・0.005μF/km・20km}//(3・\frac{2000}{3})=999.01-j31.385\] \[Z_1=z_{出力}//\frac{1}{jωC}//z_{入力}|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0}=0\] \[Z_2=z_{出力}//\frac{1}{jωC}//z_{入力}|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0}=0\]

(3)

\[I_g=\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)} =\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(3R_e//\frac{1}{jωC}//3R_e)} =\frac{\frac{66000}{\sqrt{3}}}{10+\frac{1}{3}(999.01+j31.385)}\] \[|I_g|=|\frac{3・\frac{66000}{\sqrt{3}}}{1029.01-j31.385}|=111A\]

INDEX - 電験2種2次- 電力・管理

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送電線路、リアクタンス線路

送電線路、リアクタンス線路 (1996年電験2種2次 電力・管理)

\[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]

変圧器の2次側母線電圧

変圧器 2次側母線電圧 (1997年電験2種2次 電力・管理)

\[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]

(参考：近似式を用いた場合)

\[ε=％p・cosθ+％q・sinθ\] \[\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}} ≒\frac{rI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・cosθ+\frac{xI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・sinθ =\frac{3rI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・cosθ+\frac{3xI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・sinθ \] \[\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}} ≒rI・cosθ+xI・sinθ \] \[V_s-V_r ≒r・\sqrt{3}Icosθ+x・\sqrt{3}Isinθ =r・\frac{\sqrt{3}V_rIcosθ}{V_r}+x・\frac{\sqrt{3}IV_rsinθ}{V_r} =r・\frac{P}{V_r}+x・\frac{Q}{V_r} \] \[rP+xQ+V_r^2=V_sV_r\] 　

変圧器の並行運転

変圧器の並行運転 (2010年電験2種2次 電力・管理)

(参考)変圧器の並行運転 (2010年電験2種2次 機械・制御)

\[3\frac{V}{\sqrt{3}}I'_A =3\frac{V}{\sqrt{3}}I・\frac{I_{SA}}{I_{SA}+I_{SB}} =3\frac{V}{\sqrt{3}}I・\frac{\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_A}{％Z_A}} {\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_A}{％Z_A}+\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_B}{％Z_B}}\] \[3\frac{V}{\sqrt{3}}I'_B =3\frac{V}{\sqrt{3}}I・\frac{I_{SB}}{I_{SA}+I_{SB}} =3\frac{V}{\sqrt{3}}I・\frac{\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_B}{％Z_B}} {\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_A}{％Z_A}+\frac{3\frac{V}{\sqrt{3}}I_B}{％Z_B}}\] 　　\[短絡電流I_S =\frac{定格電圧\frac{V}{\sqrt{3}}}{|変圧器のインピーダンスZ|} =\frac{定格電流I}{％Z}\] \[％Z=\frac{zI}{\frac{V}{\sqrt{3}}}\] \[1 =\frac{zI_S}{\frac{V}{\sqrt{3}}}\] 　　\[％Z=\sqrt{％p^2+％q^2}\]

変圧器のV-V結線

(参考)変圧器のV-V結線 (2003年電験3種 機械)

短絡故障

短絡容量 (1998年電験2種2次 電力・管理)

1線地絡故障、対称座標法

1線地絡故障、対称座標法 (2020年電験2種2次 電力・管理)

1線地絡電流、高低圧混色、EVT、対称座標法 (2008年電験2種2次 電力・管理)

1線地絡故障、安定巻線、対称座標法 (2001年電験2種2次 電力・管理)

1線地絡故障 (1986年電験2種2次 電力・管理)

\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & * & *\\ 1 & * & *\\ 1 & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_u→I_g\\ I_v→0\\ I_w→0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{V_u}{\sqrt{3}}→I_g・R_g\\ \frac{V_v}{\sqrt{3}}→*\\ \frac{V_w}{\sqrt{3}}→* \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] ( \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{V_u}{\sqrt{3}} \\ 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} Z_0 & & 0 \\ & Z_1 & \\ 0 & & Z_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{array} \right] ) = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0\frac{1}{3}I_g\\ \frac{V_u}{\sqrt{3}}-Z_1\frac{1}{3}I_g\\ -Z_2\frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[I_g・R_g=-\frac{1}{3}I_g(Z_0+Z_1+Z_2)+\frac{V_u}{\sqrt{3}}\] \[I_g=\frac{\frac{V_u}{\sqrt{3}}}{R_g+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)}\]

変圧器 2次側母線電圧 - 電験2種2次 1997年(平成9年) 電力・管理①

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図のようなP=80MW(遅れ力率0.8)の負荷が接続された変電所において、 変電所の二次側にコンデンサ20Mvarを設置した場合および設置しない場合の 二次側母線電圧を求める。ただし、一次側母線電圧は150kV、容量、 ％インピーダンスおよび使用タップの変圧器諸元は、次のとおりとする。

【解答と解説】

VsとVrの関係は、

\[\frac{\dot{V_s}}{\sqrt{3}} =\frac{V_r}{\sqrt{3}}+\dot{I}\dot{Z} =\frac{V_r}{\sqrt{3}}+\frac{\frac{P-jQ}{3}}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}(r+jx)\] \[\dot{V_s} =V_r+\frac{P-jQ}{V_r}(r+jx) =V_r+\frac{rP+xQ}{V_r}+j\frac{xP-rQ}{V_r}\] \[V_r^2+(rP+xQ)+j(xP-rQ)=V_r\dot{V_s}\] \[(V_r^2+rP+xQ)^2+(xP-rQ)^2=(V_rV_s)^2\] \[V_r^4+2V_r(rP+xQ)+r^2P^2+x^2Q^2+x^2P^2+r^2Q^2=V_r^2V_s^2\] \[V_r^4・\frac{r^2+x^2}{r^2+x^2}+2V_r(rP+xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=V_r^2V_s^2\] \[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]

Vrについて解くと、

\[V_r^4+2V_r^2(rP+xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=V_r^2V_s^2\] \[V_r^4-2V_r^2・(\frac{V_s^2}{2}-rP-xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=0\] \[V_r^4-2BV_r^2+C=0\] \[V_r^4-2BV_r^2+B^2=B^2-C\] \[(V_r^2-B)^2=B^2-C\] \[V_r^2-B=±\sqrt{B^2-C}\] \[V_r^2=B±\sqrt{B^2-C}=0.391±\sqrt{0.391^2-0.0256}=0.391±0.35676=0.74776,0.03424\] \[V_r=0.8647,0.18504(p.u 二次77kV)=66.58kV\] \[B=\frac{V_s^2}{2}-rP-xQ=\frac{V_s^2}{2}-xQ=\frac{0.974}{2}-0.16・0.6=0.391\] \[C=(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=x^2・(P^2+Q^2)=0.16^2・(0.8^2+0.6^2)=0.0256\]

(参考)

\[\dot{I}=\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{jδ}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{|Z|e^{jθ}} =\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{j(δ-θ)}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}e^{-jθ}}{|Z|}\] \[P-jQ=3\frac{\bar{\dot{V}}_r}{\sqrt{3}}\dot{I} =3\frac{\bar{\dot{V}}_r}{\sqrt{3}}\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{j(δ-θ)}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}e^{-jθ}}{|Z|}\] \[=\frac{\bar{\dot{V}}_r V_s}{|Z|} cos(δ-θ) - \frac{\bar{\dot{V}}_r V_r}{|Z|} cos(-θ)\] \[ +j\frac{\bar{\dot{V}}_r V_s}{|Z|} sin(δ-θ) - j\frac{\bar{\dot{V}}_r V_r}{|Z|} sin(-θ)\]

cosθ=r/|Z|、sinθ=x/|Z|より、

\[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]

(参考：近似式を用いる場合)

\[ε=％p・cosθ+％q・sinθ\] \[\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}} ≒\frac{rI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・cosθ+\frac{xI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・sinθ =\frac{3rI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・cosθ+\frac{3xI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・sinθ \] \[\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}} ≒rI・cosθ+xI・sinθ \] \[V_s-V_r ≒r・\sqrt{3}Icosθ+x・\sqrt{3}Isinθ =r・\frac{\sqrt{3}V_rIcosθ}{V_r}+x・\frac{\sqrt{3}IV_rsinθ}{V_r} =r・\frac{P}{V_r}+x・\frac{Q}{V_r} \]

近似式を用いる場合のVsとVrの関係は、

\[rP+xQ+V_r^2=V_sV_r\] \[V_r^2-V_sV_r+(\frac{V_s}{2})^2=(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ\] \[(V_r-\frac{V_s}{2})^2=(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ\] \[V_r=\frac{V_s}{2}±\sqrt{(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ} =\frac{V_s}{2}±\frac{V_s}{2}\sqrt{1-\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}} =\frac{V_s}{2}(1±\sqrt{1-\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}})\] \[ =0.8627,0.1113(p.u 二次77kV)=66.43kV\] \[\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}=\frac{xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}=\frac{0.6・0.16}{(\frac{0.974}{2})^2}=0.40477\]

全日効率ηd、エネルギー消費効率Pm -エネルギー管理研修修了試験 平成19年 電気機器 問8(1)

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電気機器設備において省エネルギーを図るためには、機器自体が発生する損失を低減するとともに、 負荷の大きさ及び[1]に適合した機器の容量、台数及び運転方式の選定など、個別機器及び設備総合での 最適化を図ることが肝要である。電気機器の損失は無負荷損と負荷損に大別される。 無負荷損は負荷の[2]に関係なく一定であり、負荷損は負荷電流の[3]に比例して増減する。

配電用変圧器の負荷は1日を通して一定ではなく、日中と真夜中では数倍異なることがある。 変圧器の利用のされ方を表すのに[4]効率ηdが使われ、この値は次式によって算出される。

\[η_d=\frac{W_t}{W_t+24P_i+W_c}×100[％]\]

ここで、Wt[Wh]は1日の[5]の積算値、Pi[W]は無負荷損、Wc[Wh]は1日の負荷損の積算値である。

また、変圧器自体の損失低減を目指して規定されたJIS C 4304:2005「配電用油入変圧器」では、 次式で計算される[6]効率Pm[W]が基準値として規定されている。

\[P_m=P_i+(\frac{m}{100})^2×P_{R75}\]

ここで、Pi[W]は無負荷損、P_R75[W]は基準[7]温度に補正した定格容量に対する負荷損である。 また、m[％]は基準負荷率で、変圧器の定格容量が500kVA以下の場合は40％、500kVA超過の場合は 50％である。

三相誘導電動機は、通常、定格負荷の近傍で最大効率が得られるように設計される。 誘導電動機を極端な部分負荷で使用すると、無負荷損及び励磁電流は負荷の大きさにかかわらず 不変であるので、効率及び[8]が低下する。

三相かご形誘導電動機は、一般に定速度形として使用されることが多いが、低速運転が 必要な場合、インバータを用いて低速時に見合った[9]及び周波数を供給すれば、 高速運転時に近い効率で運転することができる。インバータの損失を考慮に入れても、 巻線形誘導電動機の[10]による方法に比べて省エネルギー効果は大きく、 始動時の系統に与える影響も軽減でき、また、保守も容易である。

高効率三相誘導電動機では、鉄損を低減するために、低損失鉄心材料の使用や[11]の低減などの 対策が行われ、また、銅損を低減するために、導体断面積の増加やコイル端の長さの短縮などの対策が行われる。 さらに、固定子枠をアルミニウム製として[12]効果を向上させ、寸法及び質量の増大を抑制している。 高効率三相誘導電動機は電力の節約が図れるのみならず、 低損失のための電動機の温度上昇が小さく、巻線絶縁の長寿命化による信頼性の向上も期待される。

【解答】

[1]…特性

[2]…大きさ

[3]…2乗

[4]…全日効率ηd

[5]…出力

[6]…エネルギー消費効率Pm

[7]…巻線温度

[8]…力率

[9]…(一次)電圧

[10]…二次抵抗制御

[11]…(最大)磁束密度

[12]…冷却

油入変圧器のエネルギー消費効率Pm - エネルギー管理研修修了試験 2006年(平成18年) 電気機器 問8(2)

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変圧器の全損失は無負荷損と負荷損とから成る。 無負荷損は負荷の大きさに関係なく一定であり、その大部分は[10]である。 負荷損は負荷電流の2乗に比例して増減し、その大部分は[11]である。 油入変圧器の規約効率の算定においては、 変圧器の巻線温度が[12]℃にあるものとして負荷損の補正を行う。 変圧器の効率は無負荷損と負荷損が等しくなる負荷点において最大となる。 最近の変圧器は損失の少ない鉄心材料を使用しているため無負荷損が減少し、 最大効率の負荷点が軽負荷側に移行する傾向にある。

油入変圧器のエネルギー消費効率Pm[W]は、 定められた基準負荷率における変圧器の[13]であり、 次式によって算出される(JIS C 4304:2005による)。

\[P_m=P_i+(\frac{m}{100})^2×P_{R75}\]

ここで、Pi[W]は無負荷損、m[％]は基準負荷率で、 変圧器の定格容量が500kVA以下の場合は40％, 500kVA超過の場合は50％、P_R75[W]は基準巻線温度に補正した定格容量に対する[14]である。

定格容量200kVAの三相変圧器があり、定格容量に等しい出力(力率1)における 変圧器の効率98.6％、エネルギー消費効率が757Wであるとき、 この変圧器の無負荷損はA[W]であり、定格容量に等しい出力時の負荷損は[B][W]となる。

【解答と解説】

[10]…鉄損

[11]…銅損

[12]…75℃

[13]…全損失

[14]…負荷損

A,B

エネルギー消費効率Pmは757Wで、 基準巻線温度75℃に補正した定格容量に対する負荷損Pc=P_{R75}より、

\[P_i+(\frac{m}{100})^2×P_c=757W\]

基準負荷率は、定格容量200kVAの三相変圧器であることから、

\[基準負荷率m[％]=40％\] \[P_i+(\frac{40}{100})^2×P_c=757W\]

変圧器の効率η=98.6％であることから、定格容量に等しい出力(力率1)でα=1、

\[η=\frac{出力}{出力+\frac{鉄損}{α}+α銅損}=\frac{20kVA}{20kVA+Pi+Pc}=0.986\] \[P_i=0.3603kW=360.3W…A\] \[P_c=2.749kW=2749W…B\]

バルブデバイスでの損失、絶縁物の耐熱温度 - エネルギー管理研修修了試験 2006年(平成18年) 電気機器 問8(1)

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電気機器には、磁気エネルギーを介して電気エネルギーと機械エネルギーの相互変換を行う回転機、 磁気エネルギーを介して電気エネルギーの形態変換を行う変圧器、及び半導体バルブデバイスの [1]機能により電気エネルギーの形態変換を行う半導体電力変換装置がある。

これらのエネルギー変換に伴って発生する損失は、使用される電気機器の内部で熱となる。 この熱は伝熱により外部に放散されるが、一部は機器内部にとどまって各部の温度を上昇させる。 発生熱量と放散熱量とが均衡したときに温度が一定となる。 各部の温度と[2]温度との差が温度上昇と呼ばれ、電気機器の[3]を定める因子の一つである。 温度の異常な上昇は使用される機器の寿命を短縮させる。したがって、 使用される[4]の種類によって、実用上十分な寿命が確保できる許容温度が定められている。 例えば、絶縁の耐熱クラスAでは許容最高温度が[5]℃であり、耐熱クラス[6]では180℃である。 (JEC-2100-1993による)。 効率が悪い機器は内部損失の大きな機器であり、機器の寿命ばかりでなく 省エネルギーの観点からも高効率機器の適用が望まれる。

半導体電力変換装置に使用されるバルブデバイスでの損失は、定常損失であるオン状態での [7]方向電圧降下とオフ状態でのわずかな漏れ電流による損失のほかに、 オン状態とオフ状態との切替えに伴う[8]損失がある。後者は切替え動作周波数に [9]して増減する。

【解答】

[1]…開閉機能

[2]…冷媒温度

[3]…定格

[4]…絶縁物

[5]…105℃

[6]…耐熱クラスH

[7]…順方向電圧降下

[8]…スイッチング損失

[9]…比例

変圧器、全日効率 - 電気管理研修修了試験 2005年(平成17年) 電気機器 問7(3)

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電力用変圧器の全損失は無負荷損と負荷損とから成る。[9]損は全損失に含めない。 無負荷損は負荷の大きさに関係なく一定であり、負荷損は負荷電流の[10]して増減する。 無負荷損と負荷損が等しくなる負荷点において効率は最大となる。

変圧器の負荷は一日を通して一定ではなく、日中と真夜中とでは数倍異なることがある。 変圧器の利用のされ方を表すのに全日効率が使われる。全日効率はηd[％]は次式で表される。

\[η_d=\frac{W_t}{W_t+24P_i+\sum^{24} P_c t}×100\]

ここで、Wtは[11][Wh]、Piは無負荷損[W]、Pcは負荷により変化する負荷損[W]、 tは時間[h]である。

この式において効率が最大となる条件は[12]である。

【解答】

[9]…補機損

[10]…2乗に比例

[11]…1日の積算出力(電力量)

[12]

\[24P_i=\sum^{24} P_c t\]

汎用インバータ、順変換、逆変換回路- 電気管理研修修了試験 2005年(平成17年) 電気機器 問7(2)

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汎用インバータの基本回路は、商用周波数の交流入力を一度直流に変換した後、 所望の周波数の交流に再度変換して出力する構成である。 [3]回路はダイオードを用いた三相ブリッジ結線の整流回路、 [4]回路は、IGBTなどのオン機能及びオフ機能を有するバルブデバイスを用いた、 三相ブリッジ結線の[5]形インバータ回路が一般的である。 電圧及び周波数の制御はいずれも[4]回路でなされ、 制御方式は[6](PWM)制御が一般的である。

汎用インバータを用いれば、[7]電流を定格電流に近い値として始動することができる。 多頻度始動停止を行っても電源に与える影響が少なく、間欠負荷に対しても [8]運転を行う必要がないので省エネルギー上好ましい。 ただし、負荷の要求する始動特性との整合には注意を要する。

【解答】

[3]…順変換回路

[4]…逆変換回路

[5]…電圧形インバータ回路

[6]…パルス幅変調(PWM)制御

[7]…始動電流

[8]…無負荷運転

低圧バンキング方式、低圧ネットワーク方式 - 電気管理研修修了試験 2004年(平成16年) 工場配電 問6(1)

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低圧配電系統の構成として、低圧バンキング方式と低圧ネットワーク方式とがある。 低圧バンキング方式は[1]の高圧配電線から供給される変圧器の二次側を連系する方式で、 線路の[2]及び電力損失の軽減、配電用変圧器全体の[3]の節減、負荷増加に対する[4]性 などの利点がある。 一方、低圧ネットワーク方式は[5]の高圧配電線に接続された変圧器の二次側を連系する方式で、 二次側を相互に低圧配電線で連系する方式を[6]ネットワーク方式、 二次側を一つの母線に接続する方式を[7]ネットワーク方式という。 これらの低圧ネットワーク方式は低圧バンキング方式と同じような利点があるほか、 高圧配電線事故に対しても無停電供給ができるので、[8]が非常に高い方式である。

【解答】

[1]…同一

[2]…電圧降下の軽減

[3]…設備容量の節減

[4]…負荷増加に対する融通性

[5]…複数

[6]…レギュラーネットワーク方式

[7]…スポットネットワーク方式

[8]…信頼性

変圧器、無負荷損、負荷損、全日効率 - 電気管理研修修了試験 2003年(平成15年) 電気機器 問7(1)

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変圧器の規約効率算定に用いられる損失は無負荷損と負荷損である。 補機損は含めない。無負荷損の大部分は鉄損であるが、 [1]もわずかながら存在する。鉄損はヒステリシス損と[2]から成る。 交番磁界の下では、前者は「(周波数)×(最大磁束密度)^1.6～2」に 比例し、後者は「(周波数)^2×(最大磁束密度の[3]乗)」に比例する。 負荷損は[4]と漂遊負荷損から成る。変圧器の規約効率において、 負荷損は[5]が75℃にあるものとして算出する。

変圧器の負荷損は負荷の大きさに関係なく一定であるが、 負荷損は[6]の2乗に比例して増減する。全日効率は変圧器の効率的な 利用のされ方を表す指標であり、1日の出力電力量と入力電力量との 比である。省エネルギーの観点からは全日効率をよくするように 運転することが望ましい。

鉄芯材料の進歩により最近の変圧器は[7]が減少し、最大効率負荷点が [8]側に移行しているので、部分負荷で使用した方が全日効率がよくなる 場合がある。特に、最近市場に出始めたアモルファス形変圧器を用いると その傾向は顕著になる。

【解答】

[1]…誘電体損

[2]…渦電流損

[3]…2乗

[4]…銅損

[5]…基準巻線温度

[6]…負荷電流

[7]…無負荷損、鉄損

[8]…軽負荷