HOME ＞ 電験2種2次 機械・制御 ＞ 1985年(昭和60年)
図に示す制御系において、G(s)およびH(s)が(1)および(2)のように与えられている二つの場合について、 それぞれの系が安定であるか否かを判別せよ。
\[(1) G(s)=\frac{1}{s(s-2)}、H(s)=\frac{s-2}{s+2}\] \[(2) G(s)=\frac{s-1}{s^2(s+2)}、H(s)=\frac{2s+1}{1-s}\]【解答と解説】
(1)
\[閉路伝達関数 W(s) =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{1}{\frac{1}{G(s)}+H(s)} =\frac{1}{s(s-2)+\frac{s-2}{s+2}}\] \[ =\frac{s+2}{s(s-2)(s+2)+(s-2)} =\frac{s+2}{(s-2)(s+1)^2}\] \[特性方程式=(s-2)(s+1)^2=s^3-3s-2\] \[H=\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & a_5\\ a_0 & a_2 & a_4\\ 0 & a_1 & a_3\end{array} =\begin{array}{|ccc|} a_1 & a_3 & 0\\ a_0 & a_2 & 0\\ 0 & a_1 & a_3\end{array} =\begin{array}{|ccc|} 0 & -2 & 0\\ 3 & -3 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{array}\] \[⊿_1=a_1=0\] \[⊿_2=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} 0 & -2 \\ 3 & -3 \end{array} =6>0\]フルビッツの安定判別
\[a_0s^3+a_1s^2+a_2s+a_3=0\] \[a_0>0、a_1＞0、a_2＞0、a_3＞0…すべての係数a_0、a_1、a_2、a_3が存在して、同符号\] \[⊿_1=a_1>0、⊿_2=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array}>0…フルビッツの行列式のすべての値⊿_1、⊿_2が正\]上記より不安定。
(2)
\[閉路伝達関数 W(s) =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{1}{\frac{1}{G(s)}+H(s)} =\frac{1}{\frac{s^2(s+2)}{s-1}+\frac{2s+1}{1-s}}\] \[ =\frac{s-1}{s^2(s+2)-(2s+1)} =\frac{s-1}{s^3+2s^2-2s-1} =\frac{s-1}{(s-1)(s^2+3s+1)} =\frac{1}{s^2+3s+1}\] \[特性方程式=s^2+3s+1\] \[H=\begin{array}{|cc|} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} a_1 & 0 \\ a_0 & a_2 \end{array} =\begin{array}{|cc|} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\] \[⊿_1=a_1=3>0\]フルビッツの安定判別
\[a_0s^2+a_1s+a_2=0\] \[a_0>0、a_1＞0、a_2＞0…すべての係数a_0、a_1、a_2が存在して、同符号\] \[⊿_1=a_1>0…フルビッツの行列式の値⊿_1が正\]上記より安定。
