HOME ＞ 電験2種2次 ＞ 2020年(令和2年) 電力管理 問3
対称座標法を用いた1線地絡故障の計算に関して、次の問に答えよ。
図のような送受電端の変圧器の中性点をそれぞれReの抵抗で接地した こう長20km、電圧66kV、周波数50Hzの三相3線式1回線送電線路がある。
そのa相1線がRの抵抗を通じて地絡を生じた場合の地絡電流を求めたい。
(1)地絡電流Igを、a相の無負荷電圧Ea、この送電回路の故障点から見た 零相インピーダンスZ0、正相インピーダンスZ1、逆相インピーダンスZ2、 及び、地絡点の抵抗Rfで表せ。
なお、故障点での各相電圧、各相電流を図に示すようにVa/√3、Vb/√3、Vc/√3、 Ia、Ib、Icとし、それを対称成分に変換したものをV0/√3、V1/√3、V2/√3、I0、I1、I2 としたとき、以下の関係となる。
\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{E_a}{\sqrt{3}} \\ 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} Z_0 & & 0 \\ & Z_1 & \\ 0 & & Z_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -Z_0I_0\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1I_1\\ -Z_2I_2 \end{array} \right] …対称三相交流(正相) \]また、故障条件から以下の関係となる。
\[I_b=I_c=0\] \[\frac{V_a}{\sqrt{3}}=I_aR_f\](2)零相インピーダンスZ0、正相インピーダンスZ1、逆相インピーダンスZ2 をそれぞれ求めよ。ただし、1線当たりの対地静電容量Cは0.005μF/km、 変圧器の中性点の抵抗Reは2000/3Ωとして、その他のインピーダンス、 また負荷電流は無視するものとする。なお、π=3.1416とする。
(3)小問(2)の条件に加えて、地絡点の抵抗Rfが10Ωの場合における地絡電流 の大きさ|Ig|[A]を求めよ。
【解答と解説】
(1)
\[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] 、 \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] \]故障条件(1線地絡)より
\[ \left[ \begin{array}{c} I_a\\ I_b\\ I_c \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I_g\\ 0\\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{\frac{V_a}{\sqrt{3}}}{R_f}\\ 0\\ 0 \end{array} \right] …故障条件(1線地絡) \] \[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} I_0\\ I_1\\ I_2 \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} I_g\\ 0\\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g\\ \frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[ \begin{array}{c} ゼロ相\\ 正相\\ 逆相 \end{array} \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α & α^2\\ 1 & α^2 & α \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] 、 \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \frac{V_0}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_1}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_2}{\sqrt{3}} \end{array} \right] \] \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{V_a}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_b}{\sqrt{3}}\\ \frac{V_c}{\sqrt{3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & α^2 & α \\ 1 & α & α^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0I_0\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1I_1\\ -Z_2I_2 \end{array} \right] \]故障条件(1線地絡)より、
\[\frac{V_a}{\sqrt{3}}=I_aR_f=I_gR_f\] \[ \left[ \begin{array}{c} I_aR_f\\ *\\ * \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} I_gR_f\\ *\\ * \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -Z_0\frac{1}{3}I_g\\ \frac{E_a}{\sqrt{3}}-Z_1\frac{1}{3}I_g\\ -Z_2\frac{1}{3}I_g \end{array} \right] \] \[I_gR_f=-\frac{1}{3}I_g(Z_0+Z_1+Z_2)+\frac{E_a}{\sqrt{3}}\] \[I_g(R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2))=\frac{E_a}{\sqrt{3}}\] \[I_g=\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)}\](2)
\[Z_0=(3R_e+z_{出力})//\frac{1}{jωC}//(3R_e+z_{入力})|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0} =3R_e//\frac{1}{jωC}//3R_e\] \[ =(3・\frac{2000}{3})//\frac{1}{j・2π・50Hz・0.005μF/km・20km}//(3・\frac{2000}{3})=999.01-j31.385\] \[Z_1=z_{出力}//\frac{1}{jωC}//z_{入力}|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0}=0\] \[Z_2=z_{出力}//\frac{1}{jωC}//z_{入力}|_{z_{出力}→0、z_{入力}→0}=0\](3)
\[I_g=\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(Z_0+Z_1+Z_2)} =\frac{\frac{E_a}{\sqrt{3}}}{R_f+\frac{1}{3}(3R_e//\frac{1}{jωC}//3R_e)} =\frac{\frac{66000}{\sqrt{3}}}{10+\frac{1}{3}(999.01+j31.385)}\] \[|I_g|=|\frac{3・\frac{66000}{\sqrt{3}}}{1029.01-j31.385}|=111A\]
