HOME ＞ 電験2種2次 ＞ 1997年(平成9年) 電力・管理①
図のようなP=80MW(遅れ力率0.8)の負荷が接続された変電所において、 変電所の二次側にコンデンサ20Mvarを設置した場合および設置しない場合の 二次側母線電圧を求める。ただし、一次側母線電圧は150kV、容量、 ％インピーダンスおよび使用タップの変圧器諸元は、次のとおりとする。
【解答と解説】
VsとVrの関係は、
\[\frac{\dot{V_s}}{\sqrt{3}} =\frac{V_r}{\sqrt{3}}+\dot{I}\dot{Z} =\frac{V_r}{\sqrt{3}}+\frac{\frac{P-jQ}{3}}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}(r+jx)\] \[\dot{V_s} =V_r+\frac{P-jQ}{V_r}(r+jx) =V_r+\frac{rP+xQ}{V_r}+j\frac{xP-rQ}{V_r}\] \[V_r^2+(rP+xQ)+j(xP-rQ)=V_r\dot{V_s}\] \[(V_r^2+rP+xQ)^2+(xP-rQ)^2=(V_rV_s)^2\] \[V_r^4+2V_r(rP+xQ)+r^2P^2+x^2Q^2+x^2P^2+r^2Q^2=V_r^2V_s^2\] \[V_r^4・\frac{r^2+x^2}{r^2+x^2}+2V_r(rP+xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=V_r^2V_s^2\] \[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]
Vrについて解くと、
\[V_r^4+2V_r^2(rP+xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=V_r^2V_s^2\] \[V_r^4-2V_r^2・(\frac{V_s^2}{2}-rP-xQ)+(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=0\] \[V_r^4-2BV_r^2+C=0\] \[V_r^4-2BV_r^2+B^2=B^2-C\] \[(V_r^2-B)^2=B^2-C\] \[V_r^2-B=±\sqrt{B^2-C}\] \[V_r^2=B±\sqrt{B^2-C}=0.391±\sqrt{0.391^2-0.0256}=0.391±0.35676=0.74776,0.03424\] \[V_r=0.8647,0.18504(p.u 二次77kV)=66.58kV\] \[B=\frac{V_s^2}{2}-rP-xQ=\frac{V_s^2}{2}-xQ=\frac{0.974}{2}-0.16・0.6=0.391\] \[C=(r^2+x^2)(P^2+Q^2)=x^2・(P^2+Q^2)=0.16^2・(0.8^2+0.6^2)=0.0256\]
(参考)
\[\dot{I}=\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{jδ}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{|Z|e^{jθ}} =\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{j(δ-θ)}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}e^{-jθ}}{|Z|}\] \[P-jQ=3\frac{\bar{\dot{V}}_r}{\sqrt{3}}\dot{I} =3\frac{\bar{\dot{V}}_r}{\sqrt{3}}\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}e^{j(δ-θ)}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}e^{-jθ}}{|Z|}\] \[=\frac{\bar{\dot{V}}_r V_s}{|Z|} cos(δ-θ) - \frac{\bar{\dot{V}}_r V_r}{|Z|} cos(-θ)\] \[ +j\frac{\bar{\dot{V}}_r V_s}{|Z|} sin(δ-θ) - j\frac{\bar{\dot{V}}_r V_r}{|Z|} sin(-θ)\]
cosθ=r/|Z|、sinθ=x/|Z|より、
\[(P+\frac{rV_r^2}{Z^2})^2+(Q+\frac{xV_r^2}{Z^2})^2=(\frac{V_sV_r}{Z})^2\]
(参考：近似式を用いる場合)
\[ε=％p・cosθ+％q・sinθ\] \[\frac{\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}} ≒\frac{rI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・cosθ+\frac{xI}{\frac{V_r}{\sqrt{3}}}・sinθ =\frac{3rI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・cosθ+\frac{3xI^2}{3\frac{V_r}{\sqrt{3}}I}・sinθ \] \[\frac{V_s}{\sqrt{3}}-\frac{V_r}{\sqrt{3}} ≒rI・cosθ+xI・sinθ \] \[V_s-V_r ≒r・\sqrt{3}Icosθ+x・\sqrt{3}Isinθ =r・\frac{\sqrt{3}V_rIcosθ}{V_r}+x・\frac{\sqrt{3}IV_rsinθ}{V_r} =r・\frac{P}{V_r}+x・\frac{Q}{V_r} \]
近似式を用いる場合のVsとVrの関係は、
\[rP+xQ+V_r^2=V_sV_r\] \[V_r^2-V_sV_r+(\frac{V_s}{2})^2=(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ\] \[(V_r-\frac{V_s}{2})^2=(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ\] \[V_r=\frac{V_s}{2}±\sqrt{(\frac{V_s}{2})^2-rP-xQ} =\frac{V_s}{2}±\frac{V_s}{2}\sqrt{1-\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}} =\frac{V_s}{2}(1±\sqrt{1-\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}})\] \[ =0.8627,0.1113(p.u 二次77kV)=66.43kV\] \[\frac{rP+xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}=\frac{xQ}{(\frac{V_s}{2})^2}=\frac{0.6・0.16}{(\frac{0.974}{2})^2}=0.40477\]
