過渡応答 maxima_denken-2syu-2ji-seigyo-2001
【過渡応答】
入力をu(t)、出力をx(t)とするとき、次の微分方程式で記述される制御システムがある。 \[T \frac{dx^2}{dt^2} + \frac{dx}{dt} = Ku(t) T>0,K>0\] このシステムについて次の問に答えよ。 (1)伝達関数G(s)を求めよ。 (2)入力が単位ステップ関数のときの出力の応答x(t)を求めよ。 (3)周波数伝達関数を求め、そのベクトル軌跡を描くと図のようになる。 答案用紙にこの図を写し取り、その軌跡上に、角周波数ω=0、ω=1/Tおよびω=∞における 点の座標を直角座標を用いて示せ。【解答と解説】
\[ T \frac{dx^2}{dt^2} + \frac{dx}{dt} = Ku(t) \] \[ T>0,K>0 \](1)
\[Ts^2X+sX=KU\]伝達関数G(s)
\[G=\frac{X}{U}=\frac{K}{s(Ts+1)}\](2)
入力U(s)=1/sより、
\[X(s) = GU = \frac{K}{s^2(Ts+1)}=K( \frac{1}{s^2} - T \frac{1}{s} + T \frac{1}{s+1/T} ) \] \[1/s^2 → t\] \[1/s → u(t)\] \[1/(s+1/T) → e^{-t/T} \] \[X(s) = K( 1/s^2 - T 1/s + T 1/(s+1/T) ) ) \] \[x(t) = K( t- T(1-e^{-t/T}))u(t) \]